חפיפת מטריצות

חפיפה היא יחס שקילות שמוגדר עבור מטריצות באופן הבא:

תהיינה ${\displaystyle \ A,B\in \ \mathbb {F} ^{n\times n}}$ מטריצות חופפות אם קיימת מטריצה הפיכה ${\displaystyle \ P\in \ \mathbb {F} ^{n\times n}}$,

כך ש: ${\displaystyle \ B=P^{*}AP}$, כאשר ${\displaystyle \ P^{*}={\overline {P^{T}}}}$ הוא הצמוד ההרמיטי של P.

ניתן להראות כי כל שתי מטריצות המייצגות את אותה תבנית בילינארית בבסיסים שונים הן חופפות.

מכך נובע גם כי מטריצה ${\displaystyle \ A\in \ \mathbb {F} ^{n\times n}}$ מייצגת מכפלה פנימית אם ורק אם היא חופפת למטריצת היחידה ${\displaystyle I}$.

הוכחה:
נניח כי ${\displaystyle \ A}$ חופפת ל-${\displaystyle \ I}$. מכאן נובע שקיימת מטריצה הפיכה ${\displaystyle \ P}$ כך ש-${\displaystyle \ A=P^{*}IP=P^{*}P}$. לכן ${\displaystyle \ A^{*}=(P^{*}P)^{*}=P^{*}P=A}$.

כלומר ${\displaystyle \ A}$ הרמיטית. נותר להוכיח כי ${\displaystyle \ A}$ מטריצה חיובית. יהא ${\displaystyle \ {\underline {b}}\in \ \mathbb {F} ^{n}}$. אזי ${\displaystyle {\underline {b}}^{*}A{\underline {b}}={\underline {b}}^{*}P^{*}P{\underline {b}}=(P{\underline {b}})^{*}(P{\underline {b}})}$.

הביטוי האחרון שקיבלנו הוא המכפלה הפנימית הסטנדרטית ב-${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, לכן ${\displaystyle {\underline {b}}^{*}A{\underline {b}}=\langle P{\underline {b}},P{\underline {b}}\rangle =\|P{\underline {b}}\|^{2}\geq 0}$.

שוויון מתקבל אמ"מ ${\displaystyle \ P{\underline {b}}={\underline {0}}}$, וכיוון ש-${\displaystyle \ P}$ הפיכה, אזי השוויון יתקבל אמ"מ ${\displaystyle \ {\underline {b}}={\underline {0}}}$. כלומר ${\displaystyle \ A}$ מוגדרת חיובית.

נניח כי A מייצגת מכפלה פנימית. אזי A הרמיטית ומוגדרת חיובית.

תהי P מטריצת מעבר מהבסיס הסטנדרטי לבסיס אורתונורמלי במובן הבא ${\displaystyle {\underline {v}}_{i}^{*}A{\underline {v}}_{j}=\delta _{ij}}$ (הדלתא של קרונקר).

אזי ${\displaystyle \ P^{*}AP=I}$ שכן ${\displaystyle \delta _{ij}={\underline {v}}_{i}^{*}A{\underline {v}}_{j}={\underline {e}}_{i}^{*}P^{*}APe_{j}=(P^{*}AP)_{ij}}$. מ.ש.ל.