התפלגות היפרגאומטרית

התפלגות היפר גאומטרית
מאפיינים
פרמטרים	P${\displaystyle N\in 0,1,2,3,\dots \,}$ ${\displaystyle D\in 0,1,\dots ,N\,}$ ${\displaystyle n\in 0,1,\dots ,N\,}$
פונקציית הסתברות (pmf)	${\displaystyle {{{D \choose k}{{N-D} \choose {n-k}}} \over {N \choose n}}}$
תוחלת	${\displaystyle nD \over N}$
סטיית תקן	${\displaystyle {\sqrt {n(D/N)(1-D/N)(N-n) \over (N-1)}}}$
שונות	${\displaystyle n(D/N)(1-D/N)(N-n) \over (N-1)}$
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf)	${\displaystyle {\frac {N-D \choose n}{N \choose n}}\,_{2}F_{1}(-n,\!-D;\!N\!-\!D\!-\!n\!+\!1;\!e^{t})}$
צידוד	${\displaystyle {\frac {(N-2D)(N-1)^{\frac {1}{2}}(N-2n)}{[nD(N-D)(N-n)]^{\frac {1}{2}}(N-2)}}}$
גבנוניות	${\displaystyle \left[{\frac {N^{2}(N-1)}{n(N-2)(N-3)(N-n)}}\right]}$ ${\displaystyle \cdot \left[{\frac {N(N+1)-6N(N-n)}{D(N-D)}}\right].}$

התפלגות היפרגאומטרית היא התפלגות של המשתנה המקרי הבדיד הסופר את ההצלחות בקבוצה חלקית של ניסויי ברנולי, כאשר ידוע מספר ההצלחות בסדרת הניסויים כולה. המשתנה X מתפלג ${\displaystyle \ X\sim HG(N,D,n)}$ ("היפרגאומטרית עם הפרמטרים N,D,n") אם הוא סופר את מספר ההצלחות ב-n הניסויים הראשונים מתוך N, כשידוע שבסדרת הניסויים כולה היו D הצלחות. כך לדוגמה, התפלגות זו מתארת מספר הכדורים הלבנים שמתקבלים כאשר מוציאים n כדורים מכד שיש בו N כדורים, ומתוכם יש D כדורים לבנים.

ההסתברות לכך ש- ${\displaystyle \ X=k}$ היא ${\displaystyle P\left(X=k\right)={D \choose k}{N-D \choose n-k}/{N \choose n}}$.

דוגמאות ויישומים

אחת הדוגמאות הנפוצות לשימוש בהתפלגות היפרגאומטרית היא הוצאת כדורים מכד ללא החזרה.

בדוגמה ישנו כד עם D כדורים בצבע א' ו-S כדורים בצבע ב' ומוציאים n כדורים מהכד ללא החזרה, כדי לחשב את המשתנה המקרי של מס' הכדורים מצבע א' שייצאו מהכד יש להציב את הנתונים בנוסחה כאשר ${\displaystyle N=D+S}$, ושאר הנתונים בהתאמה.

התפלגויות
התפלגויות בדידות כלליות	אחידה בדידה • בינומית • מולטינומית • בינומית שלילית • ברנולי • גאומטרית • היפרגאומטרית • היפרגאומטרית שלילית • מנוונת • פואסון
התפלגויות רציפות כלליות	אחידה רציפה • בטא • גמא • לוג-נורמלית • מעריכית (אקספוננציאלית) • נורמלית (גאוסית) • לפלס • משולשת • פארטו • ריילי • קושי • כי בריבוע
התפלגויות בפיזיקה סטטיסטית	בולצמן • בוז-איינשטיין • מקסוול-בולצמן • פרמי-דיראק • זטא
התפלגויות נוספות	התפלגות t • התפלגות F • ארלנג • וייבול • לוגיסטית
סוגי התפלגויות	בדידה • רציפה • מותנית • נורמלית מוכללת • זנב עבה • לא פריקה • משותפת