התפלגות בדידה

[[קובץ:Discrete probability distrib.svg|שמאל|ממוזער|250px|פונקציית הסתברות של התפלגות בדידה. ההסתברות של היחידונים {1}, {3} ו-{7} היא 0.2, 0.5 ו-0.3 בהתאמה. כל קבוצה שאינה מכילה לפחות אחד מערכים אלו היא בעלת הסתברות שווה לאפס.]] [[קובץ:Discrete probability distribution illustration.png|שמאל|ממוזער|250px|בשרטוט העליון מוצגת פונקציית ההצטברות של ההתפלגות הבדידה שלה שלושה ערכים אפשריים: {1}, {3} ו-{7} בהסתברות 0.2, 0.5 ו-0.3 בהתאמה. השרטוט האמצעי מציג את פונקציית ההצטברות של התפלגות רציפה, עובדה שניתן להסיק בשל רציפות הפונקציה על כל הטווח [0,1]. השרטוט התחתון מציג פונקציית הצטברות של התפלגות שהינה רציפה בחלקה ובדידה בחלקה.]]

בתורת ההסתברות ובסטטיסטיקה, התפלגות בדידה מתארת התפלגות של משתנה מקרי אשר טווח ערכיו האפשריים הוא קבוצה בת מני יה. זאת להבדיל מהתפלגות רציפה שמאופיינת בקבוצה רציפה של ערכים אפשריים, כלומר בקבוצה שאינה בת מנייה.

דוגמאות

התפלגות בדידה יכולה לשמש כמודל לספירה של מאורעות מוגדרים, למשל:

• מספר ההצלחות מתוך מספר נתון של ניסיונות. לדוגמה מספר הטלות הקוביה שתוצאתן 6 מתוך מספר נתון של הטלות (התפלגות בינומית).
• מספר הניסיונות עד לקבלת מספר נתון של הצלחות, לדוגמה מספר הזריקות הכושלות עד לקליעה המוצלחת החמישית לסל אם לכל זריקה יש הסתברות קבועה להצלחה (התפלגות בינומית שלילית).
• מספר הניסיונות הנדרשים עד להצלחה הראשונה (התפלגות גאומטרית).
• ספירת מאורעות המתרחשים באופן בלתי תלוי ובקצב (ממוצע) קבוע כגון מספר הלקוחות שהגיעו לחנות בפרק זמן מסוים (התפלגות פואסון).

כמו כן התפלגות בדידה מהווה מודל לשאלת כן\לא בהסתברות מסוימת (התפלגות ברנולי) או מודל לשאלה בעלת מספר סופי של תשובות שלכל אחת מהן הסתברות מוגדרת. במקרה הפרטי שבו לכל תשובה יש הסתברות זהה, תהיה זו התפלגות אחידה. שאלות לדוגמה יכולות להיות: מה תהיה תוצאת ההטלה של קובייה בעלת שש פאות? (שש תשובות בעלות הסתברות זהה של שישית: {1,2,3,4,5,6}) או לחלופין האם תוצאת ההטלה תהיה זוגית? (שאלת כן/לא עם הסתברות של חצי להצלחה).

הגדרה

בתורת ההסתברות, נאמר שהתפלגות היא התפלגות בדידה אם היא מאופיינת על ידי פונקציית הסתברות (להבדיל מפונקציית צפיפות). לפיכך ההתפלגות של משתנה מקרי ${\displaystyle \ X}$ היא בדידה, ו- ${\displaystyle \ X}$ ייקרא משתנה מקרי בדיד אם:

${\displaystyle \sum _{u}\Pr(X=u)=1}$

כאשר ${\displaystyle \ u}$ עובר על כל אחד מהערכים ש-${\displaystyle \ X}$ יכול לקבל.

מכאן נובע שאם משתנה מקרי ${\displaystyle \ X}$ הוא בדיד, אזי קבוצת כל הערכים שהוא יכול לקבל בהסתברות שונה מאפס היא סופית או בת מנייה, שכן סכום איבריה של קבוצה שאינה בת מנייה וכל איבריה ממשיים חיוביים (ושונים מאפס) יתכנס תמיד לאינסוף.

מאפיינים

להתפלגות הבדידה יש פונקציית הסתברות לא רציפה עבורה ${\displaystyle \ Pr(X=x)=0}$ לכל ערך ${\displaystyle \ x}$ שאינו בקבוצת הערכים האפשריים של ההתפלגות.

פונקציית ההצטברות של התפלגות בדידה נראית כפונקציית מדרגות מונוטונית עולה, כאשר לכל ערך ${\displaystyle \ x}$ עבורו ${\displaystyle \ Pr(X=x)>0}$ יש לפונקציית ההצטברות נקודת אי רציפות.

דוגמה קלאסית למשתנה מקרי בדיד היא מספר הנקודות המתקבל על הפאה העליונה כשמטילים קובייה, או פונקציה כלשהי של מספר זה.

התפלגויות
התפלגויות בדידות כלליות	אחידה בדידה • בינומית • מולטינומית • בינומית שלילית • ברנולי • גאומטרית • היפרגאומטרית • היפרגאומטרית שלילית • מנוונת • פואסון
התפלגויות רציפות כלליות	אחידה רציפה • בטא • גמא • לוג-נורמלית • מעריכית (אקספוננציאלית) • נורמלית (גאוסית) • לפלס • משולשת • פארטו • ריילי • קושי • כי בריבוע
התפלגויות בפיזיקה סטטיסטית	בולצמן • בוז-איינשטיין • מקסוול-בולצמן • פרמי-דיראק • זטא
התפלגויות נוספות	התפלגות t • התפלגות F • ארלנג • וייבול • לוגיסטית
סוגי התפלגויות	בדידה • רציפה • מותנית • נורמלית מוכללת • זנב עבה • לא פריקה • משותפת