התפלגות אחידה רציפה

מאפיינים מגדירים

בהינתן משתנה מקרי עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle X\sim U(a,b)} , פונקציית צפיפות ההסתברות שלו היא:

${\displaystyle f_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&\mathrm {for} \ a\leq x\leq b,\\[8pt]0&\mathrm {for} \ x<a\ \mathrm {or} \ x>b\end{cases}}}$

פונקציית ההתפלגות המצטברת של המשתנה המקרי היא:

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\text{for }}x<a\\[8pt]{\frac {x-a}{b-a}}&{\text{for }}a\leq x<b\\[8pt]1&{\text{for }}x\geq b\end{cases}}}$

מומנטים ופונקציות יוצרות

תוחלתו ושונותו של המתשנה המקרי ${\displaystyle X}$ נתונות על ידי הנוסחאות:

${\displaystyle \mathbb {E} X={\frac {a+b}{2}}}$

${\displaystyle Var(X)={\frac {(b-a)^{2}}{12}}}$

הנוסחא למומנט מסדר ${\displaystyle n}$ של המשתנה המקרי היא:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{E}X^n=\frac{b^n-a^n}{(n+1)(b-a)} }

המומנט הממרוכז ה-${\displaystyle n}$-י הוא:

${\displaystyle \mathbb {E} (X-\mathbb {E} X)^{n}={\frac {(b-a)^{n}\cdot (1+(-1)^{n})}{2^{n+1}(n+1)}}}$

בפרט ניתן לראות כי המומנטים הממורכזים מסדר אי-זוגי מתאפסים. עובדה זו נובעת בקלות מהיות ${\displaystyle X}$ סימטרי סביב הממוצע.

הפונקציה יוצרת המומנטים של המשתנה המקרי נתונה על ידי:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M_X(t) = \mathbb{E}exp(tX) = \begin{cases} \frac{e^{tb}-e^{ta}}{t(b - a)} & \mathrm{for}\ t\ne 0 \\[8pt] 1 & \mathrm{for}\ x<a\ \mathrm{or}\ x>b \end{cases} }

בדומה, הפונקציה האופיינית של המשתנה המקרי היא:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \phi_X(t) = \mathbb{E}exp(itX) = \begin{cases} \frac{e^{itb}-e^{ita}}{it(b - a)} & \mathrm{for}\ t\ne 0 \\[8pt] 1 & \mathrm{for}\ x<a\ \mathrm{or}\ x>b \end{cases} }

סטטיסטיקה תאורטית

בסטטיסטיקה, כשמשתמשים במבחן ערך-p לבדיקת השערת אפס פשוטה, וההתפלגות של המבחן הסטטיסטי רציפה, אז ערך ה-p מתפלג אחיד בין 0 ל־1 כאשר השערת האפס נכונה.

תכנות

לשפות תכנות רבות יש את היכולת לייצר מספרים פסאודו־אקראיים שמתפלגים אחיד לפי התפלגות אחידה סטנדרטית, וזאת תוך שימוש במחולל מספרים פסאודו-אקראיים. שימוש בעקרון דגימת ההעתקה ההפוכה מאפשר כך למתכנת לקבל ערך אקראי המתפלג כרצונו. כך למשל יכול מתכנת לסמלץ פעולות כמו הטלת מטבע או קובייה.

חישוב נומרי ושיטת מונטה־קרלו

נניח שנתונה לנו פונקציה אינטגרבילית ${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ , ורוצים לחשב את האינטגרל עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_{a}^{b} f(x)dx} . אם לפונקציה ${\displaystyle f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R} }$ יש פונקציה קדומה ידועה, ניתן לחשב את האינטגרל תוך שימוש במשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי.

כשאין זה המקרה, ניתן לחשב את האינטגרל על ידי האבחנה הבאה – האינטגרל שווה ל־עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (b-a)\mathbb{E}(f(U))} כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U\sim U(a,b)} . את ערך התוחלת ניתן לקרב תוך שימוש בחוק המספרים הגדולים – מגרילים סדרת משתנים מקריים בלתי תלויים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle U_{1},...,U_{N}\sim U(a,b)} ומחשבים את הממוצע האמפירי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}f(U_{i})} . אי-שוויון צ'בישב גורר כי

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{P}\{|M-\mathbb{E}f(U)|\ge t\} \le \frac{Var(M)}{t^2}=\frac{Var(f(U))}{Nt^2} }

בשיטה זו נהוג להשתמש בסימולציה של מערכות מורכבות בפיזיקה,כימיה והנדסה. למשל, כאשר יש צורך להבין מהי ההסתברות שמערכת הנדסית תכשל, ניתן להריץ סימולציה של המערכת מספר רב של פעמים ולראות מה יחס מספר הפעמים בה המערכת נכשלה.

שגיאות קוונטיזציה

בעיבוד אותות שגיאת קוונטיזציה היא שגיאה הנובעת מקירוב של אות אנלוגי על ידי אות דיגיטלי. עקב מספר הביטים הסופי באות הדיגיטלי, חייבת להיות שגיאה בקירוב זה – שגיאה הנובעת מעיגול או השמטה של הספרות האחרונות. כאשר עוצמת האות המקורי גדולה הרבה יותר מהביט הזניח ביותר, המתאם בין השגיאה לגודל האות המקורי קטן מאוד, וכתוצאה מכך השגיאה מתפלגת, בקירוב, בצורה אחידה.