התפלגות לוגיסטית

התפלגות לוגיסטית
פונקציית צפיפות ההסתברות
פונקציית ההסתברות המצטברת
מאפיינים
פרמטרים	${\displaystyle \ \sigma >0}$ ,${\displaystyle -\infty <\mu <\infty }$
תומך	${\displaystyle \ {\mathbb {R}}}$
פונקציית צפיפות הסתברות (pdf)	${\displaystyle {\frac {e^{-(x-\mu )/s}}{s\left(1+e^{-(x-\mu )/s}\right)^{2}}}\!}$
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf)	${\displaystyle {\frac {1}{1+e^{-(x-\mu )/s}}}\!}$
תוחלת	${\displaystyle \ \mu }$
סטיית תקן	${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{3}}s^{2}\!}$
חציון	${\displaystyle \ \mu }$
ערך שכיח	${\displaystyle \ \mu }$
שונות	${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{3}}s^{2}\!}$
אנטרופיה	${\displaystyle \ln(s)+2\,}$
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf)	${\displaystyle e^{\mu \,t}\,\mathrm {B} (1-s\,t,\;1+s\,t)\!}$ עבור ${\displaystyle |s\,t|<1\!}$, פונקציית בטא
פונקציה אופיינית	${\displaystyle e^{i\mu t}\,\mathrm {B} (1-ist,\;1+ist)\,}$ for ${\displaystyle |ist|<1\,}$
צידוד	${\displaystyle \ 0}$
גבנוניות	${\displaystyle \ 6/5}$

התפלגות לוגיסטית היא התפלגות רציפה, שעד כדי הזזה וכיווץ, הקובעים את התוחלת והשונות, פונקציית ההתפלגות המצטברת שלה היא הפונקציה הלוגיסטית ${\displaystyle \ {\frac {1}{1+e^{-x}}}}$. צורת ההתפלגות דומה לזו של ההתפלגות הנורמלית, אך היא בעלת גבנוניות גדולה יותר (החריגות מהתוחלת הן גדולות ונדירות יותר).

פונקציית ההתפלגות

ההתפלגות הלוגיסטית מאופיינת בשני פרמטרים, ${\displaystyle \ \mu }$ ו- ${\displaystyle \ s}$. פונקציית ההסתברות המצטברת של ההתפלגות היא הפונקציה הלוגיסטית המוזזת ב-${\displaystyle \ \mu }$ ומכווצת פי ${\displaystyle \ s}$: ${\displaystyle F_{X}(x)={\frac {1}{1+e^{-(x-\mu )/s}}}\!}$

פונקציית הצפיפות היא הנגזרת של פונקציה זו: ${\displaystyle \ f_{X}(x)={\frac {e^{-(x-\mu )/s}}{s(1+e^{-(x-\mu )/s})^{2}}}}$. למשתנה מקרי בעל התפלגות כזו יש תוחלת ${\displaystyle \ \mu }$, ושונות ${\displaystyle \ {\frac {\pi ^{2}s^{2}}{3}}}$.

שימושים

• בשחמט, דירוג השחקנים מחושב על פי התפלגות לוגיסטית במד הכושר.
• באקולוגיה משמשת ההתפלגות הלוגיסטית לתיאור הגידול הטבעי באוכלוסיית מינים, התלוי בגודל האוכלוסייה הקיימת ובכמות המשאבים הזמינים.
• באפידמיולוגיה - לתיאור התפשטות מגפות.
• בפסיכולוגיה - לתיאור תהליכי למידה.
• תיאור האופן שבו טכנולוגיות, מקורות אנרגיה או מוצרי שיווק מסוגים שונים נפוצים ומחליפים אלו את אלו.

התפלגויות
התפלגויות בדידות כלליות	אחידה בדידה • בינומית • מולטינומית • בינומית שלילית • ברנולי • גאומטרית • היפרגאומטרית • היפרגאומטרית שלילית • מנוונת • פואסון
התפלגויות רציפות כלליות	אחידה רציפה • בטא • גמא • לוג-נורמלית • מעריכית (אקספוננציאלית) • נורמלית (גאוסית) • לפלס • משולשת • פארטו • ריילי • קושי • כי בריבוע
התפלגויות בפיזיקה סטטיסטית	בולצמן • בוז-איינשטיין • מקסוול-בולצמן • פרמי-דיראק • זטא
התפלגויות נוספות	התפלגות t • התפלגות F • ארלנג • וייבול • לוגיסטית
סוגי התפלגויות	בדידה • רציפה • מותנית • נורמלית מוכללת • זנב עבה • לא פריקה • משותפת