התפלגות כי בריבוע

התפלגות כי בריבוע
פונקציית צפיפות ההסתברות
פונקציית ההסתברות המצטברת
מאפיינים
פרמטרים	${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{>0}~~}$ (ידוע כ"דרגות חופש")
תומך	${\displaystyle x\in [0,+\infty )}$
פונקציית צפיפות הסתברות (pdf)	${\displaystyle {\frac {1}{2^{\frac {k}{2}}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\;x^{{\frac {k}{2}}-1}e^{-{\frac {x}{2}}}\,}$
פונקציית ההסתברות המצטברת (cdf)	${\displaystyle 1-{\frac {1}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\;\gamma \left({\tfrac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}}\right)}$
תוחלת	${\displaystyle k}$
סטיית תקן	${\displaystyle {\sqrt {2k}}}$
חציון	${\displaystyle \approx k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3}}$
ערך שכיח	${\displaystyle \max(k-2,0)}$
שונות	${\displaystyle 2k}$
אנטרופיה	${\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {k}{2}}&+\ln(2\Gamma ({\tfrac {k}{2}}))\\&\!+(1-{\tfrac {k}{2}})\psi ({\tfrac {k}{2}})\,{\scriptstyle {\text{(nats)}}}\end{aligned}}}$
פונקציה יוצרת מומנטים (mgf)	עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle (1-2t)^{-{\frac {k}{2}}}{\text{ for }}t<{\frac {1}{2}}}
פונקציה אופיינית	${\displaystyle (1-2it)^{-{\frac {k}{2}}}}$
צידוד	עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {8/k}}\,}
גבנוניות	${\displaystyle {\frac {12}{k}}}$

התפלגות כי בריבוע (${\displaystyle \chi ^{2}}$ , כהגיית כ רפה) היא התפלגות בעלת חשיבות רבה בסטטיסטיקה. חשיבותה העיקרית בהסקה סטטיסטית נובעת מהעובדה שתחת הנחות סבירות, גדלים הניתנים לחישוב באופן פשוט מתפלגים בקירוב בהתאם להתפלגות זו תחת השערת האפס. בין היתר, ההתפלגות משמשת כבסיס למבחן כי בריבוע.

הגדרה

בהינתן מספר טבעי ${\displaystyle k}$ (כלומר, שלם וחיובי), נאמר כי למשתנה מקרי רציף ${\displaystyle Y}$ יש התפלגות כי בריבוע עם ${\displaystyle k}$ דרגות חופש, אם צפיפות ההסתברות שלו נתונה בביטוי

${\displaystyle f(x;k)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}\,x^{(k/2)-1}e^{-x/2}&{\text{for }}x>0\\0&{\text{for }}x\leq 0\end{cases}}}$

כאשר ${\displaystyle \Gamma (z)}$ היא פונקציית גמא.

במקרה כזה, מסמנים ${\displaystyle Y\sim \chi _{k}^{2}}$ .

קשר להתפלגויות אחרות

בהינתן ${\displaystyle k}$ משתנים מקריים ${\displaystyle Z_{1},\ldots ,Z_{k}}$ בלתי תלויים, שלכולם התפלגות נורמלית סטנדרטית (כלומר: התפלגות נורמלית עם תוחלת 0 ושונות 1), המשתנה

${\displaystyle Y=Z_{1}^{2}+\cdots +Z_{k}^{2}}$

מתפלג כי בריבוע עם ${\displaystyle k}$ דרגות חופש.

התפלגות כי בריבוע היא מקרה פרטי של התפלגות גמא, עם פרמטר צורה ${\displaystyle \alpha ={\frac {k}{2}}}$ ופרמטר קצב ${\displaystyle \lambda ={\frac {1}{2}}}$.

קישורים חיצוניים

ראו מדיה וקבצים בנושא זה בוויקישיתוף.

התפלגויות
התפלגויות בדידות כלליות	אחידה בדידה • בינומית • מולטינומית • בינומית שלילית • ברנולי • גאומטרית • היפרגאומטרית • היפרגאומטרית שלילית • מנוונת • פואסון
התפלגויות רציפות כלליות	אחידה רציפה • בטא • גמא • לוג-נורמלית • מעריכית (אקספוננציאלית) • נורמלית (גאוסית) • לפלס • משולשת • פארטו • ריילי • קושי • כי בריבוע
התפלגויות בפיזיקה סטטיסטית	בולצמן • בוז-איינשטיין • מקסוול-בולצמן • פרמי-דיראק • זטא
התפלגויות נוספות	התפלגות t • התפלגות F • ארלנג • וייבול • לוגיסטית
סוגי התפלגויות	בדידה • רציפה • מותנית • נורמלית מוכללת • זנב עבה • לא פריקה • משותפת