קואורדינטות (אלגברה)

באלגברה, קוארדינטות של איבר כלשהו במרחב וקטורי על פי בסיס סדור מסוים שלו הם מספרים המייצגים את המרכיב של כל אחד מאברי הבסיס באותו איבר. מספרים אלו מאורגנים בווקטור קואורדינטות.

המקרה הנפוץ ביותר הוא במרחב האוקלידי עם הבסיס הסטנדרטי. זהו למעשה ייצוג הנקודה במערכת צירים קרטזית.

וקטור קואורדינטות

באלגברה לינארית, וקטור קואורדינטות של איבר במרחב וקטורי הוא וקטור עמודה המציג את אותו איבר ביחס לבסיס נתון. וקטורי קואורדינטות מאפשרים לתרגם חישובים וטענות ממרחב וקטורי כללי אל מרחב הווקטורים הסטנדרטיים ${\displaystyle \ F^{n}}$.

יהי ${\displaystyle \ B=\{b_{1},\dots ,b_{n}\}}$ בסיס סדור של המרחב הווקטורי V, מעל השדה F. לפי ההגדרה פירוש הדבר הוא שכל וקטור ב-V אפשר להציג, באופן יחיד, כסכום ${\displaystyle \ v=\alpha _{1}b_{1}+\cdots +\alpha _{n}b_{n}}$. וקטור הקואורדינטות של v ביחס לבסיס B הוא וקטור העמודה ${\displaystyle \ [v]_{B}=(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})^{T}}$. ההעתקה ${\displaystyle \ V\rightarrow F^{n}}$ המוגדרת לפי ${\displaystyle \ v\mapsto [v]_{B}}$ היא איזומורפיזם של מרחבים וקטוריים, ובעצם קיומה היא מוכיחה שכל מרחב וקטורי n-ממדי איזומורפי למרחב וקטורי העמודה הסטנדרטי.

וקטור הקואורדינטות של וקטור ${\displaystyle \ v\in F^{n}}$ לפי הבסיס הסטנדרטי, הוא הווקטור v עצמו.

וקטורי הקואורדינטות של v ביחס לבסיסים שונים קשורים זה בזה דרך מטריצת המעבר בין הבסיסים: ${\displaystyle \ [v]_{C}=M_{C}^{B}[v]_{B}}$.

את המושג שהוגדר כאן עבור מרחבים וקטוריים אפשר להכליל לכל מודול חופשי, ולמרחבים וקטוריים ממימד אינסופי.