מטריצה אוניטרית

באלגברה לינארית, מטריצה אוניטרית היא מטריצה ריבועית מעל המספרים המרוכבים המקיימת את התנאי

${\displaystyle A^{*}A=AA^{*}=I}$ כלומר ${\displaystyle {\overline {A^{T}}}A=A{\overline {A^{T}}}=I_{n}\,}$

כאשר I היא מטריצת היחידה, ו- ${\displaystyle \ A^{*}=A^{\dagger }={\overline {A^{T}}}}$ הצמוד ההרמיטי של מטריצה A.

מטריצה אוניטרית היא מקרה פרטי של מטריצה נורמלית.

מטריצה אוניטרית שכל מרכיביה הם מספרים ממשיים היא מטריצה אורתוגונלית.

תכונות של מטריצות אוניטריות

• ${\displaystyle A\,}$ מטריצה הפיכה ו-${\displaystyle A^{-1}={\overline {A^{T}}}\,}$
• מטריצה אוניטרית שומרת מכפלה פנימית: ${\displaystyle \langle Ax,Ay\rangle =\langle x,A^{*}Ay\rangle =\langle x,Iy\rangle =\langle x,y\rangle }$ (כאן נעזרנו בתכונות הצמוד ההרמיטי במכפלה פנימית)
• מטריצה אוניטרית שומרת על נורמה, ${\displaystyle \ \|Ax\|=\|x\|}$. כתוצאה מכך, ערך מוחלט של כל ערך עצמי שלה הוא 1.
• אם A אוניטרית ${\displaystyle A^{*}\,}$ ו-${\displaystyle {\overline {A}}}$ גם הן אוניטריות
• מטריצה nxn מעל שדה ${\displaystyle \mathbb {F} }$ היא אוניטרית אם ורק אם שורותיה הן בסיס אורתונורמלי של ${\displaystyle \mathbb {F} ^{n}}$ ביחס למכפלה הפנימית הסטנדרטית בו.
• מטריצה nxn מעל שדה ${\displaystyle \mathbb {F} }$ היא אוניטרית אם ורק אם עמודותיה הן בסיס אורתונורמלי של ${\displaystyle \mathbb {F} ^{n}}$ ביחס למכפלה הפנימית הסטנדרטית בו.
• הערך המוחלט של כל הערכים העצמיים של מטריצה אוניטרית הוא 1.
• כל ערכיה העצמיים של מטריצה אוניטרית נמצאים על מעגל היחידה של המישור המרוכב.

חבורת המטריצות האוניטריות

קבוצת המטריצות האוניטריות מסדר n מהווה חבורה כאשר הפעולה הבינארית של החבורה הינה כפל מטריצות ומסומנת ${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$. תת-חבורת המטריצות האוניטריות עם דטרמיננטה השווה ל-1 נקראת "חבורת המטריצות האוניטריות המיוחדות" ומסומנת ${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$.

ראו גם

• אופרטור אוניטרי