משפט פיתגורס

המשפט במקורות היהדות

הוכחת התוספות לאמתא בריבועא

המשפט לא מוזכר בתלמוד^[3]. אמנם מפרשי המשנה הזכירו אותו.
הרמב"ם במסכת עירובין פרק ב' משנה ה' מפרש את המשנה באופן שמצריך שימוש במשפט. לפי דבריו עניין "ארכו פי שניים ברחבו" הכוונה שהאלכסון הוא פי שניים מרוחב המרובע ששטחו 5000 אמות מרובעות.
הר"ש במסכת כלאיים פרק ה' משנה ה' מזכיר את המשפט "ובני אדם חכמי המדות אמרו,דכל מרובע ב' קוים כמרובע האלכסון. שמודדים מידת אורכו ועושים ריבוע כמידתו, ומודדים מידת רוחבו ועשים ריבוע כמידתו, ומודדים מידת אלכסון ועושים ריבוע כמידתו, יעלה אלכסונו כשיעור אותם ב' רבועים" אבל הוא לא מזכיר את פיתגורס אלא כותבו בשם "חכמי המידות". ולדעת הר"ש שם המשפט אינו מוכרח אלא במשולש שווה צלעות ונסתר מהמשנה שם. אבל כבר בפי' הרא"ש שם כתוב (בשם תלמידו) שהמשפט מוכרח בכל אופן. והרמב"ם והתויו"ט האריכו בפי' המשנה.
התוספות יום טוב על שתי המשניות הנ"ל מאריך בחישובים המבוססים על המשפט. בכלאיים פרק ה' משנה ה' הוא גם מזכיר שאקלידוס הוכיח את המשפט.
בספר איל משולש של הגר"א מובאות שתי הוכחות למשפט. הוכחה על ידי יצירת ריבוע מארבעה משולשים^[4], והוכחה על ידי חפיפת משולשים.,^[5]
החזון אי"ש^[6] הביא את ההוכחה הזו בצורה שונה.

בתלמוד^[7] יש משפט מקביל "כל אמתא בריבועא אמתא ותרי חומשי באלכסונא", כלומר שעל כל אמה (מידת אורך בזמן הגמרא) באורכו של הריבוע יש אמה ושני חמישיות באלכסונו. אבל כבר כתבו התוספות^[8] שמשפט זה מדבר על ריבוע בלבד ולכן הוא נכון לחישוב יתר של משולש ישר זווית שוה שוקיים ואינו נכון למשולשים אחרים. וגם בישר זווית שווה שוקיים כתבו ^[9]שאינו מדוייק ונועד לקלות החישוב, והוכיחו זאת מריבוע 10/10 שמחולק לארבעה ריבועים שווים(בתמונה) שאם נחלק כל אחד מריבועים אלו לאלכסונו כך שיווצר ריבוע פנימי קטן יהיה שטחו חציו של הריבוע הגדול שהרי כל אחד מהרבעים נחלק לחצי ובשביל שיהיה שטחו 50, צלעותיו שהם אלכסון של הריבוע הקטן צריכות להיות כ- 7.0710678119 ולפי החישוב של 1 ו2/5 זה יוצא 7 בלבד.

משפט פיתגורס בתרבויות קדומות

• מצרים העתיקה

בפפירוס ברלין 6619, המתוארך לתקופה שבין 2000 לפנה"ס ל-1780 לפנה"ס, והמכיל ידע רב במתמטיקה וברפואה מצויה בעיה^[10], שפתרונה מעיד על ידע בפתרון משוואה ממעלה שנייה ועל הכרתן של מספר שלשות פיתגוריות.

• בבל^[11]

לוח החרסית הכתוב בכתב יתדות, "פלימפטון 322", המתוארך לתקופה שבין 1900 לפנה"ס ל-1600 לפנה"ס, מכיל ארבע עמודות וחמש עשרה שורות של מספרים בספרות בבליות. לפי אחת מהפרשנויות, הלוח שימש לחישוב שלשות פיתגוריות או לחישוב ערכיה של פונקציה טריגונומטרית.

• הודו

ספר המקודש להודים - "שולבה סוטרא"^[12], המתאר בניית מזבחות המיועדים להקרבת קרבנות לאלילים, אשר מתוארך לתקופה שבין 800 לפנה"ס ל-200 לפנה"ס, מכיל רשימה של שלשות פיתגוריות והוכחה גאומטרית של המשפט עבור משולש ישר-זווית שווה-שוקיים.

• סין^[13]

בספר "ג'וֹאוּבִּי סְוָּאנְגִ'ינְג" - "המדריך של ג'ואו למדידת צללים" - המתוארך לתקופה שבין 100 לפנה"ס ל-100 לספירה מצויה הוכחה ויזואלית למשפט פיתגורס ("משפט גאוגו" בשמו הסיני) למשולש ישר-זווית שאורכי צלעותיו הן 3, 4 ו-5.

הספר הנחשב לחשוב ביותר בהיסטוריה של המתמטיקה בסין הוא "גְ'יו גָא'נְג סוָּאן שוּ" - "תשעת הפרקים של אמנות המתמטיקה" המכיל 246 בעיות מתחומי חיים שונים האמורות להקיף את הידע הדרוש לפתרון בעיות מתמטיות יום-יומיות. הפרק התשיעי של הספר, ששמו "גוּאַי גוּ" ("בסיס וגובה"), עוסק במשולשים ישרי זווית וכולל יישומים של מה שידוע במערב כמשפט פיתגורס, שלשות פיתגוריות וחפיפת משולשים.

• יוון

במאה השלישית לפנה"ס נכתב בידי אוקלידס הספר "יסודות", המכיל סיכום מקיף של הידע בגאומטריה ובאריתמטיקה שנצבר עד זמנו של אוקלידס. תרומתו הגדולה הייתה בניסוח השיטתי ובמבנה הלוגי המסודר של המשפטים. הספר נחשב לאחד הספרים החשובים ביותר שנכתבו מאז ומעולם והיה הספר המרכזי ללימוד אריתמטיקה וגאומטריה במשך מאות רבות.

בספר מצויה הוכחה למשפט פיתגורס^[14] (ראו בהמשך). ההוכחה כתובה בצורה אקסיומטית ומובנית, והיא ההוכחה העתיקה ביותר למשפט הידועה היום.

לפי הפילוסוף והמתמטיקאי פרוקולוס, שפירש את "יסודות" של אוקלידס כ-700 שנים לאחר כתיבתו, השתמש פיתגורס, שחי במאה השישית לפנה"ס, בשיטות אלגבריות למציאת שלשות פיתגוריות, ואילו אפלטון, שחי בתחילת המאה הרביעית לפנה"ס, פיתח שיטה למציאת שלשות פיתגוריות המשלבת בין האלגברה לגאומטריה.

על-פי משפט פיתגורס, השורש הריבועי של 2 (הידוע גם כקבוע פיתגורס) הוא אורך האלכסון בריבוע שאורך צלעותיו הוא 1. פיתגורס ותלמידיו ידעו להוכיח ש-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt 2} הוא מספר אי רציונלי, מה שלפי סברה רווחת היווה מכה קשה לאסכולה הפיתגוראית שהאמינה שהעולם כולו ניתן לתיאור כיחסים בין מספרים טבעיים.

אוקלידס

בספרו הנודע של אוקלידס, "יסודות", כרך ראשון, משפט מספר 47, מצויה ההוכחה הבאה למשפט:

יהי ABC משולש ישר-זווית, כאשר C היא הזווית הישרה. מנקודה C מעבירים גובה ליתר, כך שיחצה את הריבוע המונח עליו לשני מלבנים. ההוכחה מראה ששטחי המלבנים האלו שווים לשטחים של הריבועים המונחים על הניצבים בהתאמה. כפי שניתן לראות בציור משמאל, ההוכחה מבוססת על המרת כל אחד משני הריבועים המונחים על הניצבים למקבילית בעלת אותו שטח, השווה גם לשטחו של המלבן המתאים.

להלן פרטי ההוכחה:

1. ABC הוא משולש ישר-זווית, עם זווית ישרה ACB.
2. על כל אחת מצלעות המשולש AB, BC, CA מונחים הריבועים ABIK, BCFG, CADE בהתאמה.
3. הגובה מקודקוד C ליתר AB חותך את הצלעות AB, KI בנקודות H, J בהתאמה.
4. הזוויות ACB ו-ACE הן זוויות ישרות ולכן הנקודות B, C ,E נמצאות על ישר אחד. כנ"ל לגבי הנקודות A, C, F.
5. הזוויות DAC ו-BAK הן זוויות ישרות, לכן המשולשים KAC ו-BAD חופפים (AD=AC, הזוויות KAC ו-BAD שוות, BA=KA).
6. מאחר שהנקודות C, H, J נמצאות על ישר אחד, אזי שטח המלבן KAHJ שווה לפעמיים שטח המשולש KAC^[15].
7. מאחר שהנקודות B, C, E נמצאות על ישר אחד, אזי שטח הריבוע ADEC שווה לפעמיים שטח המשולש ADB.
8. מכאן ששטח המלבן KAHJ שווה לשטח הריבוע ADEC, כלומר שטח המלבן KAHJ שווה ל-AC^2.
9. משימוש באותם השיקולים מתקבל ששטח המלבן IBHJ שווה ל-BC^2.
10. מחיבור שתי תוצאות אלו נובע ששטח הריבוע IBAK שווה ל-AC²+BC^2.
11. מחישוב ישיר של שטח הריבוע IBAK, שטחו שווה ל-AB^2.
12. סך הכל, מקבלים כי: AC²+BC²=AB^2.

לאונרדו דה וינצ'י

הסבר להוכחתו של לאונרדו דה וינצ'י, המתוארת בסקיצה משמאל:

המרובעים האפורים AJIC ו-ABGD חופפים ולכן שטחם שווה. כך גם לגבי המרובעים הלבנים DGFE ו-CIHB. מתקבל כי שטח המשושים AJIHBC ו-ABGFED שווה.

שטח המשושה AJIHBC שווה ל- עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c^2+2 \cdot \frac {ab} 2=c^2+ab}

שטח המשושה ABGFED שווה ל- עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^2 + b^2 + 2 \cdot \frac {ab} 2 = a^2+b^2+ab}

מהשוואת שני הביטויים שהתקבלו, המייצגים את אותו השטח, מתקבל משפט פיתגורס.

הנשיא גרפילד

ג'יימס גרפילד, שכיהן כנשיא ארצות הברית במחצית השנייה של המאה ה-19, חיבר הוכחה יפה למשפט פיתגורס, ולפיה ניתן מכל משולש ישר-זווית ליצור טרפז כמודגם בציור משמאל, שאת שטחו ניתן לחשב בשני אופנים:

מצד אחד, שטחו שווה ל-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \frac {(a+b)^2}{2}} , כיוון ששטח טרפז שווה למכפלת גובהו במחצית סכום בסיסיו.

מצד שני, שווה שטחו ל-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \frac{c^2}{2}+ab} כי הוא שווה לסכום שטחם של שני המשולשים האפורים והמשולש הלבן שביניהם.

מהשוואת שני הביטויים, המייצגים את אותו שטח, מתקבל משפט פיתגורס.

השוואת שטחים

דרך אחת להוכחת המשפט היא חישוב שטח של צורה נתונה בשתי דרכים שונות, שההשוואה ביניהן נותנת את משפט פיתגורס. דוגמה להוכחה בדרך זו, היא הוכחתו של הנשיא גרפילד שהוצגה לעיל.

וריאציה אחרת של שיטה זו, היא חישוב שטח של צורה מסוימת, סידור מחדש של השטח על ידי חיתוך והרכבה, חישוב מחדש של השטח, וכמו קודם, מהשוואת השטחים מתקבל משפט פיתגורס. דוגמה להוכחה בשיטה זו, היא הוכחתו של לאונרדו דה וינצ'י. דוגמאות נוספות לגישה זו, בהנפשות הבאות:

קובץ:Pythagoras-2a.gif

הכללה של ההוכחה המופיעה בטקסט הסיני "Chou Pei Suan Ching" עבור המשולש (3,4,5) למשולש כללי

הוכחתו של המתמטיקאי ההודי אריאבהטה שחי במאה ה-5 לספירה

חפיפה ודמיון משולשים

הוכחה באמצעות דמיון משולשים

,

הוכחה בדרך נוספת

אחת הדרכים הנפוצות להוכחת המשפט היא שימוש בחפיפת משולשים, כמו בהוכחתו של אוקלידס, או שימוש בדמיון משולשים, כמו בדוגמה הבאה:

נתון משולש ישר-זווית ABC, כאשר ${\displaystyle \angle ACB}$ היא הזווית הישרה.

מהקודקוד C מורידים גובה לצלע AB ומקבלים שלושה משולשים דומים: ACB, ADC, CDB.

את המשך ההוכחה ניתן לראות בציור משמאל.

פרשנים טוענים שההוכחה הייתה ידועה לאוקלידס כאשר כתב את "יסודות", אך כיוון שרצה לכלול את משפט פיתגורס כבר בכרך הראשון של ספריו, לפני המשפטים שעוסקים בדמיון משולשים, הוא השתמש בהוכחה מורכבת יותר.

קווים מיוחדים במעגל

שימוש בחשבון דיפרנציאלי

הוכחת המשפט באמצעות משוואות דיפרנציאליות.

בגישה זו, אורך אחד הניצבים עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b} הוא קבוע ובודקים כיצד משתנה אורך היתר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c} בהתאם לשינוי באורך הניצב השני עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} , כפי שניתן לראות בדיאגרמה משמאל.

באמצעות דמיון משולשים מקבלים את המשוואה: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac {da}{dc} = \frac {c}{a}} .

ואחרי העברת אגפים, מתקבלת המשוואה הדיפרנציאלית: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c\, dc = a\,da} .

התרתה של משוואה זו (באמצעות אינטגרציה של שני האגפים) מביאה לפתרון: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c^2 = a^2 + \mathrm{constant}\ \,\!} .

מכיוון שעבור המקרה שבו עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a=0\,} מתקבל כי עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle c=b\,} , אזי הקבוע בפתרון הוא בדיוק עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b^2\,} .
הצבתו של הקבוע במשוואה מביאה לתוצאה הדרושה: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c^2 = a^2 + b^2\,} .

שימוש באנליזה ממדית

הוכחת משפט פיתגורס באמצעות אנליזה ממדית

את משפט פיתגורס ניתן להוכיח גם משיקולים של אנליזה ממדית. זוויות המשולש הן חסרות ממד; אורכיהן של צלעות המשולש הן מממד L; שטח המשולש הוא מממד L². את שטח המשולש ניתן להביע כפונקציה של היתר ושל אחת מהזוויות החדות במשולש שתסומן באות היוונית ${\displaystyle \ \alpha }$. מכיוון ש-${\displaystyle \ \alpha }$ חסר ממד, c מממד L והשטח מממד L² הרי ששטח המשולש ABC שווה ל- עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Area_{ABC}=c^2 f(\alpha)\,} . הגובה מקודקוד C פוגש את הצלע AB בנקודה D. מאותם שיקולי ממד מקבלים ששטח המשולש ACD שווה ל- עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Area_{ACD}=b^2 f(\alpha) \,} ואילו שטח המשולש BCD שווה ל- עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle Area_{BCD}=a^{2}f(\alpha )\,} . מכיוון ש-${\displaystyle Area_{ABC}=Area_{BCD}+Area_{ACD}}$ הרי ש-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c^2 f(\alpha) =a^2 f(\alpha)+b^2 f(\alpha)\,} . לאחר צמצום בגורם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(\alpha) \,} מתקבל משפט פיתגורס.

הוכחות גאומטריות למשפטים מתמטיים שונים

משפט פיתגורס משמש בהוכחת משפטים רבים מתחום הגאומטריה, למשל נוסחת הירון או המשפט ההפוך למשפט פיתגורס.
בטריגונומטריה, משפט פיתגורס מהווה כלי חשוב בהוכחתן של זהויות. למשל: במשולש ישר-זווית שאורך היתר שלו הוא 1, ואחת מזוויותיו החדות היא x, אורכי הניצבים הם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sin x , \cos x \, } ממשפט פיתגורס מקבלים את הזהותעיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {\sin}^2 x +{\cos}^2 x=1 \, }
כמו כן, ניתן להשתמש במשפט פיתגורס כדי לתת הוכחה גאומטרית למשפטים מתחומים אחרים במתמטיקה, כמו המקרה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n=2} של אי שוויון הממוצעים.

מרחק במרחב האוקלידי

במרחב האוקלידי מגדירים את המרחק במערכת הקואורדינטות הקרטזיות באמצעות משפט פיתגורס:

בהינתן שתי נקודות (x₁, y₁), (x₀, y₀) ב-עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb {R}^2} , המרחק האוקלידי ביניהן נתון על ידי הנוסחה: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d = \sqrt{(x_1-x_0)^2 + (y_1-y_0)^2}}

את הנוסחה הנ"ל ניתן להרחיב גם למרחב האוקלידי ה-n ממדי באופן הבא:

בהינתן הנקודות עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \scriptstyle X\,=\,(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})} , עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \scriptstyle Y\,=\,(y_1,y_2,\dots,y_n)} ב- עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb {R}^n} , המרחק האוקלידי ביניהן נתון על ידי הנוסחה: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle d=\sqrt{(x_1-y_1)^2 + (x_2-y_2)^2 + \cdots + (x_n-y_n)^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i-y_i)^2}}

ציוד המרחב האוקלידי בפונקציית מרחק לפי משפט פיתגורס הופכת אותו למרחב מטרי שהמטריקה שלו קרויה "המטריקה האוקלידית".

מושג קרוב למרחק הוא אורך. במרחב האוקלידי הסטנדרטי האורך מוגדר בדומה למרחק לפי משפט פיתגורס. האורך האוקלידי של וקטור עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x_1,x_2,\ldots,x_n)} הוא עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt{x_1^2+x_2^2+\ldots+x_n^2}} . זוהי הנורמה הסטנדרטית המושרת על המרחב האוקלידי כמרחב מכפלה פנימית עם מכפלה סקלרית.

הגדרה בסיסית זו של אורך של וקטור (שהוא קו ישר) מאפשר להגדיר אורך של כל עקומה בעלת אורך. האורך של עקומה מתקבל על ידי חלוקת העקומה למקטעים ישרים, שאורך כל אחד מהם קטן מ עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \epsilon} , סכימת האורכים של המקטעים (המחושבים לפי פיתגורס) ולבסוף חישוב הגבול של אורך זה כאשר ערכו של עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \epsilon} שואף ל-0.

הערך המוחלט של מספר מרוכב מתקבל גם הוא ממשפט פיתגורס. זהו האורך של המספר כווקטור במישור המרוכב.

בניית שורשים של שלמים בעזרת סרגל ומחוגה

בניות בעזרת סרגל ומחוגה של שורשי שלמים.

לכל מספר טבעי n, משפט פיתגורס מאפשר לבנות קטע באורך עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt n} בעזרת סרגל ומחוגה. כדי לבנות את עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt 2} בונים את היתר של משולש ישר-זווית עם ניצבים באורך 1. כדי לבנות ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ בונים את היתר של משולש יש זווית עם ניצב באורך 1 וניצב באורך עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt 2} וכן הלאה.

באופן כללי, נבנה את השורש של n באינדוקציה. בהינתן שבנינו כבר את ${\displaystyle {\sqrt {n-1}}}$, אז נבנה משולש ישר-זווית עם ניצב באורך זה וניצב באורך 1, ולפי משפט פיתגורס נקבל יתר שאורכו: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt{(\sqrt{n-1})^2+1^2} = \sqrt n} .

בנייה זו מעידה שהשורשים הריבועיים של המספרים הטבעיים נמצאים בשדה המספרים הניתנים לבנייה.

חישוב ערכים של הפונקציות הטריגונומטריות

משפט פיתגורס מאפשר למצוא ערכים פשוטים של פונקציות טריגונומטריות.

הערכים של קוסינוס וסינוס (ולכן גם טנגנס) בזוויות 30°,45°,60° מתקבלים ממשפט פיתגורס בקלות.

כדי למצוא את ערכי הפונקציות בזווית 45° בונים משולש ישר-זווית שהוא גם שווה-שוקיים. לשם הפשטות קובעים כי אורכי הניצבים הם 1. זוויות הבסיס במשולש שוות ולכן הן 45° (כי סכום הזוויות במשולש הוא 180°). לפי משפט פיתגורס אורך היתר הוא עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt 2} , ולכן מהגדרת הפונקציות הטריגונומטריות במשולש נובע ש-עיבוד הנוסחה נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://en.wikipedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \cos 45^{\circ }=\sin 45^{\circ }={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}}

כדי למצוא את ערכי הפונקציה בזוויות 30° ו-60° מתחילים ממשולש שווה-צלעות שכל צלעותיו הן באורך 2. מכיוון שהמשולש שווה-צלעות כל זוויותיו הן בנות 60°. כעת מורידים גובה מאחד הקודקודים. הגובה הוא גם חוצה זווית ולכן מתקבל משולש שזוויותיו הן 90°-60°-30°. הגובה הוא גם תיכון ולכן למשולש שהתקבל ניצב באורך 1 (מול הזווית 30°) ויתר באורך 2. לפי משפט פיתגורס אורך הניצב השני (מול הזווית 60°) הוא עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sqrt{2^2-1^2} = \sqrt 3} . לכן מקבלים ש-${\displaystyle \sin 30^{\circ }=\cos 60^{\circ }={\tfrac {1}{2}}}$ וכן ${\displaystyle \cos 30^{\circ }=\sin 60^{\circ }={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}}$.

הכללות למשולש כלשהו ולמצולעים שונים

משפט היין

משפט hoehn משנת 2000

המתמטיקאי האמריקאי לארי היין, פרסם בשנת 2000 משפט המכליל את משפט פיתגורס^[17], במשולש שווה-שוקיים:
נתון משולש שווה-שוקיים שאורך השוק שלו הוא c. ישר באורך a המחבר את זווית הראש והבסיס חוצה את הבסיס לשני קטעים שאורכיהם b, d. אזי: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \quad c^2=a^2+bd \quad \,}

במקרה הפרטי שבו הישר הפנימי הוא גובה (ולפי משפט ידוע בגאומטריה, גם תיכון), מתקיים ש עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b=d \,} ומתקבל משפט פיתגורס.

לא רק ריבוע

מקביליות הבנויות על צלעות משולש כללי

השטח האדום ועוד השטח הכחול שווה לשטח הירוק

על הצלעות AC ו-BC של משולש ABC, בונים מקביליות ACED ו-BCGF בהתאמה.

הקרנות DE ו-FG נחתכות בנקודה H.
על הצלע AB בונים מקבילית ABJI שצלעותיה AI, BJ, מקבילות לקטע CH ושוות לו באורכן.

אזי עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle AREA_{ACED}+AREA_{BCGF}=AREA_{ABJI}} . הוכחה זו מופיעה בספר הרביעי בסדרת האסיף המתמטי של פאפוס מאלכסנדריה.

במקרה הפרטי, בו המשולש הוא ישר-זווית, והמקביליות הן ריבועים, מתקבל משפט פיתגורס.

הכללת ויליאם האזרד

השטח האדום שווה לשטח הכחול

המתמטיקאי האמריקאי ויליאם האזארד פרסם בשנת 1929 הכללה^[19] להוכחתו של המתמטיקאי ההודי אריאבהטה למשפט פיתגורס.

בנייה:

המקבילית ABCD חסומה במקבילית PNMQ, כלומר על כל אחת מצלעות המקבילית PNMQ מונח קודקוד של המקבילית ABCD.

מקודקוד A מעבירים ישר מקביל לקטעים MN, QP החותך את הצלע QM בנקודה S.

מקודקוד B מעבירים ישר מקביל לקטעים MQ, NP החותך את הצלע PQ בנקודה K.

הישרים AS, BK נחתכים בנקודה Y.

אזי: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Area_{ABCD}=Area_{AYKP}+Area_{BYSM} \,} .

כאשר שתי המקביליות הן ריבועים, מתקבל משפט פיתגורס (כמו בהוכחתו של אריאבהטה).

גאומטריה מסדר גבוה יותר ומרחבים נורמיים

משפט פיתגורס בגאומטריה הספירית

משולש ישר-זווית בגאומטריה ספירית

בגאומטריה הספירית אקסיומת המקבילים מוחלפת באקסיומה הבאה:

בהינתן ישר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle l} ונקודה P שאיננה על הישר, לא ניתן להעביר דרך P אף ישר המקביל ל- עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle l} .
בגאומטריה הספירית, המשולשים (וכל שאר העצמים המתמטיים) נמצאים על פני ספירה. כאשר רדיוס הספירה שווה ל-R, ניתן לנסח את משפט פיתגורס באופן הבא:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos \left(\frac{c}{R}\right)=\cos \left(\frac{a}{R}\right)\,\cos \left(\frac{b}{R}\right) } .

כדי להבין מדוע משפט זה אכן מהווה את המקבילה של משפט פיתגורס, מפתחים את הפונקציה עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos {\alpha} \,} לטור מקלורן:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cos \alpha =1 - \frac {\alpha^2} 2 + ...}

כאשר מציבים את הפיתוח הנ"ל ב"משפט פיתגורס בגאומטריה הספירית", מקבלים:

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \left ( 1 - \frac {c^2} {2R^2} + ...\right )= \left ( 1 - \frac {a^2} {2R^2} + ...\right )\cdot \left ( 1 - \frac {b^2} {2R^2} + ...\right ) } .

לאחר פתיחת סוגריים, והכפלה בגורם עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2R^2 \,} , מקבלים את משפט פיתגורס בגרסתו האוקלידית כאשר מאפשרים לרדיוס הכדור לשאוף לאינסוף (עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \,R \to \infin} ):

עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^2+b^2=c^2 \,} .

משפט פיתגורס בגאומטריה ההיפרבולית

בגאומטריה ההיפרבולית, את אקסיומת המקבילים מחליפה האקסיומה: בהינתן ישר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle l} ונקודה P שאיננה על הישר, ניתן להעביר דרך P לפחות שני ישרים המקבילים ל- עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle l} .
במישור היפרבולי בעל עקמומיות 1-, ניתן לנסח את משפט פיתגורס באופן הבא: עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \cosh c=\cosh a\cdot \cosh b} כאשר cosh הוא הקוסינוס ההיפרבולי.

גם כאן, על ידי שימוש בטור מקלורן, כאשר עיבוד הנוסחה נכשל (MathML עם גיבוי SVG או PNG (מומלץ לדפדפנים מודרניים ולכלי נגישות): תגובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://en.wikipedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \, a,b,c \to 0} מקבלים את משפט פיתגורס בגרסתו האוקלידית.