מכפלה מעורבת

מכפלה מעורבת (או מכפלה משולשת) היא פעולה הפועלת על שלושה וקטורים מהמרחב האוקלידי ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ומחזירה סקלר. המכפלה המעורבת מהווה דטרמיננטה למטריצה במרחב האוקלידי ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ . בערך זה נדון בעיקר במכפלה המעורבת במרחב האוקלידי ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ וביישומיה בגאומטריה באנליזה וקטורית ובאלגברה לינארית.

הגדרה

יהיו

${\displaystyle {\vec {a}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{1}\\z_{1}\end{pmatrix}},{\vec {b}}={\begin{pmatrix}x_{2}\\y_{2}\\z_{2}\end{pmatrix}},{\vec {c}}={\begin{pmatrix}x_{3}\\y_{3}\\z_{3}\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3}}$

המכפלה המעורבת היא המכפלה ${\displaystyle {\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\times {\vec {c}})}$ , כלומר מכפלה סקלרית של הוקטור ${\displaystyle {\vec {a}}}$ במכפלה הווקטורית של הוקטורים ${\displaystyle {\vec {b}},{\vec {c}}}$ .

משמעות

תוצאת המכפלה המעורבת היא מספר אשר משמעותו הוא נפח המקבילון הבנוי על וקטורים ${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}}$ . נפח כאן הוא במשמעות שונה מעט מהמשמעות המקובלת שלו, כיוון שהערך של המכפלה המעורבת יכול להיות שלילי, בעוד שנפח נתפס לרוב כגודל חיובי בלבד. טיעון מדויק יותר הוא שהגודל של המכפלה המעורבת שווה לנפח המקבילון הנוצר על ידי שלושת הווקטורים. סימן המכפלה (חיובי או שלילי) נקבע לפי סדר הווקטורים, כלומר, אם השלשה ${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}}$ היא שלשה ימנית או שלשה שמאלית. אם הווקטורים משותפי מישור אז המכפלה המעורבת מתאפסת, כיוון שבמקרה זה ה"מקבילון" המוגדר על ידם הוא שטוח ונפחו 0.

ניתן גם להסתכל על המכפלה המעורבת בתור הדטרמיננטה של המטריצה המורכבת מהוקטורים <${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}}$ . לכן מתכונות הדטרמיננטה ברור כי

${\displaystyle {\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\times {\vec {c}})={\vec {c}}\cdot ({\vec {a}}\times {\vec {b}})={\vec {b}}\cdot ({\vec {c}}\times {\vec {a}})}$

אך חילוף הסדר יהפוך את הסימן:

${\displaystyle {\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\times {\vec {c}})=-{\vec {a}}\cdot ({\vec {c}}\times {\vec {b}})}$

כמו כן מתקיים לכל זוג ווקטורים:

${\displaystyle {\vec {a}}\cdot ({\vec {a}}\times {\vec {b}})=0}$

ראו גם

• מרחב וקטורי
• מרחב מכפלה פנימית
• מכפלה סקלרית
• מכפלה וקטורית
• דטרמיננטה

קישורים חיצוניים

• מכפלה מעורבת, באתר MathWorld (באנגלית)